Север и рынок. 2025, № 2.

СЕВЕР И РЫНОК: формирование экономического порядка. 2025. № 2. С. 22-37. Sever i rynok: formirovanie ekonomicheskogo poryadka [The North and the Market: Forming the Economic Order], 2025, no. 2, pp. 22-37. СТРАТЕГИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ РАЗВИТИЕМ РОССИЙСКОГО СЕВЕРА И АРКТИКИ модели Лесли [24] или метода передвижки возрастов [25]. С целью повышения точности построения демографического прогноза для лиц пенсионного возраста предлагается использовать подход на основе оценки параметров функции выживания с помощью мультипликативного коэффициента дожития. Пусть а — индекс возрастной группы а £ [0 ,п ], соответствующий возрасту от 0 до 100 лет. Обозначим Рд a t —численность мужчин (д = т) и женщин (д = f ) возраста а в год t. Индекс д £ i m , f ] задает признак пола: т — мужской, f — женский. Согласно методу передвижки возрастов -я возрастная группа в момент времени t переходит в (а + 1)-ю возрастную группу в момент времени ( t + 1). Предполагается, что количество новорожденных возраста а = 0, оставляемых -й возрастной группой, пропорционально численности группы, т. е. b аРд а t, где bn п — коэффициент рождаемости а-й возрастной у, и группы, b п > 0 . Количество выживших людей, У, и переходящих в следующую возрастную группу, тоже пропорционально численности, т. е. s _р_ _ t, у, и у, и, с где s — коэффициент дожития -й возрастной группы У, и д-го пола, 0 < sg, а < 1, а £ [0, п - 1] и sg , п = 0 . Последовательное произведение коэффициентов выживаемости от начального возраста а = 0 до возраста а будем называть мультипликативным коэффициентом дожития Sg (a ) = n ?=iSfl, i—i, д £ {т , / ] , а £ [1 , п ] . (1) Тогда выражение для расчета половозрастной численности населения может быть записано в виде Рд, a, t = P g , 0, t - a ^ g ^ l 9 £ А а £ [1,П1 (2) Положительное свойство мультипликативного коэффициента дожития (1) состоит в том, что он зависит только от возраста а, но не от года t. Это поможет уйти от связи Рд а t в решении (2) с исходной численностью новорожденных р 0 t_ a возраста а = 0 и позволит не использовать в расчетах оценки л коэффициентов дожития s а_ 1 в пределах молодых возрастов в диапазоне от 0 до 30 лет, на котором они подвержены сильным колебаниям и выбросам Рп п t+п п = Sg(a2') ■ рп f , д £ { т , ( ' ] , а £ [ 1 , п ] . (3) ^'g,Cl 2 , t+a 2 —a1 Sg(a1) ^3, t ' а Выражение (3) позволяет оценивать численность населения определенной возрастной группы не от исходной численности новорожденных р 0 t_ a возраста а = 0, а от численности населения возраста а1 диапазона зрелых возрастов «от тридцати лет». Возникает проблема моделирования самого мультипликативного коэффициента дожития Sg( a) с помощью аппроксимирующей функции для построения прогноза. Оценку данного коэффициента предлагается осуществить на основе функции выживания, представленной в модели смертности Гомперца — Мейкхама s(a) = е х р ( - J “ y.tdt) = exp ( - Х ■а - ^ / у ехр(у ■ а )). (4) Функция (4) использовалась далее при аппроксимации мультипликативного коэффициента дожития Sg (a ) для прогнозирования численности постоянного населения по модели (3). л Заменяя в выражении (3) Sg (d ) на оценку sg (a ) и заменяя а 2 на а, получаем Рд,a,t +а—аі = ^ ■ Рд,а±, t , 9 £ а £ [аи п]. (5) sg(al) Уравнение (5) будет использоваться для прогнозирования численности постоянного населения в половозрастном разрезе. Прогноз численности работающих пенсионеров Прогноз численности работающих пенсионеров L n n t строится на основе прогноза численности У, и, С постоянного населения в соответствующих возрастах (5) и на основе прогноза уровней занятости работающих пенсионеров с пУ, и, С Lg, a,t = Сд, a, t^Pg, а, ѵ 3 £ а £ ^ П І t £ [t0, tf ]. (6) Возникает задача параметрической оценки усредненной доли работающих пенсионеров с_ _ t . у, U, I Оценку данного коэффициента предлагается осуществить на основе логистической функции вида с(а) = к / [ \ + ехр ( (а а°')/Т)'],а £ [а1,п], (7) которая часто используется в экономико-математических моделях [26; 27]. Функция (7) ограничена двумя горизонтальными асимптотами с ( - ю ) = к, с ( ^ ) = 0, коэффициент к характеризует максимальное значение функции с ( а) , коэффициент а0 определяет точку перегиба кривой (медиану), левее и правее которой находится половина значений, коэффициент т характеризует скорость роста кривой. Полученная с помощью (7) оценка доли работающих л пенсионеров с ( а ) подставляется в (6) Lg, a, t = С(а) ■ Рд, а, V3 £ { ™ , f ] , « £ [аЪП], t £ [t0,tf ]. (8) В итоге выражение (8) будет основой построения прогноза численности работающих пенсионеров. © Гуртов В. А., Питухин Е. А., Степусь И. С., 2025 26